opgave 2 2007 - 2008

(klik voor opgave 1, opgave 3) Opgave 2.pdf

Over vreemde en andere getallen.

Wiskundigen spreken over allerlei eigenschappen van getallen. Veel van die eigenschappen zijn gebaseerd op de som van de (echte) delers van een getal. De echte delers zijn alle natuurlijke getallen kleiner dan het getal zelf.
Zo is de som van de (echte) delers van 20 gelijk aan 1 + 2 + 4 + 5 +10 = 22.

Van een positief geheel getal N is een positief geheel getal M waarvoor geldt (0 < M < N) een echte deler als er een positief geheel getal A bestaat zodat A x M = N

Opgave 2a: Bepaal de delers van een getal.

Schrijf een programma nio2a dat een getal N inleest van het toetsenbord (1 < N < 32 000 000).
Het programma geeft als uitvoer de delers van N, in oplopende volgorde, elke deler op een eigen regel.

Voorbeelden:

	Voorbeeld 1	Voorbeeld 2	Voorbeeld 3
Invoer	58	110	101
Uitvoer	1 2 29	1 2 5 10 11 22 55	1

Hieronder zie je een lijstje met eigenschappen van getallen en de betekenis ervan.

Eigenschap	Beschrijving	Voorbeeld
Perfect getal	Het getal is gelijk aan de som van zijn delers	6 1 + 2 + 3 = 6
Bijna perfect getal	Het getal is 1 groter dan de som van zijn delers	16 1 + 2 + 4 + 8 = 15
Priemgetal	Het getal heeft 1 als som van zijn delers	17 1 = 1
Defect getal	Het getal is meer dan 1 groter dan de som van zijn delers	14 1 + 2 + 7 = 10
Quasiperfect getal	Het getal is 1 kleiner dan de som van zijn delers	Nog nooit aangetroffen Geen voorbeeld kleiner dan 1035
Overvloedig getal	Het getal is meer dan 1 kleiner dan de som van zijn delers	12 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

Opgave 2b: Geef de eigenschap van het getal.

Schrijf een programma nio2b dat een getal N inleest van het toetsenbord (1 < N < 32 000 000).
Het programma geeft als uitvoer een regel waarop staat welke eigenschap voor dit getal geldt. Als meerdere eigenschappen van toepassing zijn moet je de bovenste eigenschap uit de aangegeven lijst weergeven.

	Voorbeeld 1	Voorbeeld 2	Voorbeeld 3
Invoer	58	120	101
Uitvoer	Defect getal	Overvloedig getal	Priemgetal

Voor overvloedige getallen geldt dat je ze nog kunt opsplitsen in twee typen.

Eigenschap	Beschrijving	Voorbeeld
Semiperfect getal	Het getal is gelijk aan de som van twee of meer van zijn delers (maar niet van alle delers). Iedere deler mag daarbij maximaal één maal worden gebruikt.	12 2 + 4 + 6 = 12
Vreemd getal	Het getal is kleiner dan de som van zijn delers, maar geen semiperfect getal	70 De som van de delers van 70 is: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 74 Dat is 4 meer dan 70 zelf. Er is geen manier om één of meer delers uit de lijst weg te strepen en dan precies op 70 uit te komen.

Opgave 2c: Is het getal vreemd?

Schrijf een programma nio2c dat een getal N inleest van het toetsenbord (1 < N < 32 000 000).
Het programma geeft als uitvoer een regel waarop staat welke eigenschap voor dit getal geldt. Er zijn drie mogelijke antwoorden: Niet overvloedig getal, Semiperfect getal en Vreemd getal.

	Voorbeeld 1	Voorbeeld 2	Voorbeeld 3
Invoer	58	120	70
Uitvoer	Niet overvloedig getal	Semiperfect getal	Vreemd getal

Voor meer informatie over eigenschappen van getallen zie ondermeer Wikipedia, bijvoorbeeld op http://nl.wikipedia.org/wiki/Perfect_getal

Jurering:

Opgave 2a wordt getest met 12 getallen die elk 3 punten waard zijn. De helft van de invoergetallen is kleiner dan 2000.

Opgave 2b wordt getest met 12 getallen die elk 3 punten waard zijn. Ook hier is de helft van de invoergetallen kleiner dan 2000.

Opgave 2c wordt getest met 4 groepen van elk 3 testgevallen. Als die alle drie tot een goed einde worden gebracht krijg je 7 punten voor zo’n groep. Een ook hier is de helft van de invoergetallen kleiner dan 2000.

Voor alle opgaven is de tijdlimiet voor je programma 2 seconden.